问什么叫几何级数

【什么叫几何级数】几何级数是数学中一个重要的概念，广泛应用于数列、级数分析以及实际问题的建模中。它是一种特殊的数列，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。理解几何级数有助于我们更好地掌握数列的规律和求和方法。

一、几何级数的定义

几何级数（Geometric Series）是指由若干个项组成的数列，其中每一项都是前一项乘以一个固定的非零常数。这个常数称为公比（Common Ratio），通常用字母 $ r $ 表示。

例如：

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

这是一个公比为 2 的几何级数。

二、几何级数的通项公式

设首项为 $ a $，公比为 $ r $，则第 $ n $ 项为：

$$

a_n = a \cdot r^{n-1}

$$

三、几何级数的求和公式

对于有限项的几何级数，其前 $ n $ 项和 $ S_n $ 可以表示为：

$$

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)

$$

当 $ r < 1 $ 时，无限几何级数收敛，其和为：

$$

S = \frac{a}{1 - r}

$$

四、几何级数的特点

五、举例说明

六、总结

几何级数是一种具有固定比例关系的数列，其每一项都是前一项乘以一个常数。通过掌握它的通项公式和求和公式，我们可以快速计算出数列的和，尤其在处理无限级数时，了解其收敛性尤为重要。几何级数不仅在数学理论中占有重要地位，也在现实世界中有广泛应用。