【单调区间怎么求】在数学中，函数的单调性是研究函数变化趋势的重要工具。单调区间指的是函数在其定义域内某个子区间上单调递增或单调递减的区域。掌握如何求解单调区间，有助于我们更深入地理解函数的性质。
一、单调区间的定义
- 单调递增区间：在该区间内，随着自变量 $ x $ 的增大，函数值 $ f(x) $ 也增大。
- 单调递减区间：在该区间内，随着自变量 $ x $ 的增大，函数值 $ f(x) $ 减小。
二、求单调区间的步骤
1. 确定函数的定义域
首先明确函数的定义域，因为单调性只在定义域内讨论。
2. 求导数 $ f'(x) $
利用导数判断函数的增减性。
3. 解不等式 $ f'(x) > 0 $ 和 $ f'(x) < 0 $
- 当 $ f'(x) > 0 $，函数在该区间单调递增；
- 当 $ f'(x) < 0 $，函数在该区间单调递减。
4. 结合定义域划分单调区间
根据导数的符号变化，将定义域划分为若干个单调区间。
5. 写出最终结果
用区间表示法写出函数的单调递增和递减区间。
三、总结与表格对比
| 步骤 | 内容说明 |
| 1. 确定定义域 | 明确函数的有效输入范围 |
| 2. 求导数 | 计算 $ f'(x) $，用于分析增减性 |
| 3. 解导数不等式 | 分析导数的正负来判断单调性 |
| 4. 划分区间 | 根据导数符号的变化点划分单调区间 |
| 5. 表达结果 | 用区间形式表示函数的单调递增和递减区间 |
四、示例分析（以函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 为例）
1. 定义域：全体实数 $ (-\infty, +\infty) $
2. 求导：$ f'(x) = 3x^2 - 3 $
3. 解不等式：
- $ f'(x) > 0 $ ⇒ $ 3x^2 - 3 > 0 $ ⇒ $ x^2 > 1 $ ⇒ $ x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) $
- $ f'(x) < 0 $ ⇒ $ x \in (-1, 1) $
4. 划分区间：
- 单调递增区间：$ (-\infty, -1) $ 和 $ (1, +\infty) $
- 单调递减区间：$ (-1, 1) $
五、注意事项
- 导数为零的点可能是极值点或拐点，需进一步判断其是否影响单调性。
- 若导数在某些点不存在，应考虑这些点是否会影响单调区间的划分。
- 多项式函数、指数函数、对数函数等常见函数都可以通过上述方法求出单调区间。
通过以上步骤，我们可以系统地找到一个函数的单调区间，从而更好地分析其图像和行为。