问椭圆的通径公式

【椭圆的通径公式】在解析几何中，椭圆是一个重要的二次曲线，其通径是研究椭圆性质的重要参数之一。通径是指通过椭圆焦点且垂直于长轴的弦，其长度与椭圆的参数密切相关。本文将对椭圆的通径公式进行总结，并以表格形式展示相关参数及其关系。

一、通径的基本概念

通径（Latus Rectum）是椭圆中一条特殊的弦，它满足以下条件：

- 通径经过椭圆的一个焦点；

- 通径与椭圆的长轴垂直；

- 通径的两个端点在椭圆上。

对于标准位置的椭圆，通径有两条，分别对应两个焦点，它们的长度相等。

二、椭圆的标准方程

设椭圆的中心在原点，长轴与 x 轴重合，则椭圆的标准方程为：

$$

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

$$

其中：

- $ a $：半长轴；

- $ b $：半短轴；

- $ c $：焦距，$ c = \sqrt{a^2 - b^2} $。

三、通径公式的推导

通径的长度可以通过以下方式求得：

1. 设焦点在 $ (\pm c, 0) $，则通径所在的直线为 $ x = \pm c $。

2. 将 $ x = c $ 代入椭圆方程，解出对应的 y 值：

$$

\frac{c^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \Rightarrow y^2 = b^2\left(1 - \frac{c^2}{a^2}\right)

$$

3. 化简得：

$$

y^2 = \frac{b^4}{a^2}

$$

4. 所以通径的长度为：

$$

L = 2y = 2 \cdot \frac{b^2}{a}

$$

因此，椭圆的通径长度公式为：

$$

L = \frac{2b^2}{a}

$$

四、通径公式总结表

五、应用举例

若已知一个椭圆的半长轴 $ a = 5 $，半短轴 $ b = 3 $，则通径长度为：

$$

L = \frac{2 \times 3^2}{5} = \frac{18}{5} = 3.6

$$

六、结语

椭圆的通径公式是理解椭圆几何特性的关键工具之一，尤其在天体轨道、光学反射等问题中具有广泛应用。掌握通径的计算方法有助于更深入地分析椭圆的几何结构和物理特性。