【方阵问题的公式】在数学学习中，方阵问题是一个常见的几何应用题型，常出现在小学或初中阶段的数学课程中。方阵问题主要涉及排列成正方形队列的人或物的数量计算，包括实心方阵和空心方阵两种类型。掌握相关公式对于快速解决这类问题非常有帮助。
一、实心方阵
实心方阵是指每一层都填满的正方形队列，其特点是每边人数相同，且所有位置都被占据。
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 总人数 | $ n^2 $ | n为每边人数 |
| 每边人数 | $ \sqrt{总人数} $ | 总人数必须是完全平方数 |
示例：
一个实心方阵共有 64 人，那么每边人数为 $ \sqrt{64} = 8 $ 人。
二、空心方阵
空心方阵是指中间部分为空的正方形队列，通常用于表示一层或多层的环形结构。
1. 单层空心方阵（仅一圈）
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 总人数 | $ 4(n - 1) $ | n为每边人数 |
| 每边人数 | $ \frac{总人数}{4} + 1 $ | 总人数必须能被4整除 |
示例：
一个单层空心方阵总人数为 20 人，那么每边人数为 $ \frac{20}{4} + 1 = 6 $ 人。
2. 多层空心方阵（多圈）
对于多层空心方阵，一般采用“外层人数减去内层人数”的方式计算总人数。
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 总人数 | $ (n^2 - (n - 2k)^2) $ | n为最外层每边人数，k为层数 |
| 每边人数 | $ n - 2(k - 1) $ | k为层数 |
示例：
一个三层空心方阵，最外层每边人数为 10，那么总人数为：
$$
10^2 - (10 - 2 \times 3)^2 = 100 - 4^2 = 100 - 16 = 84
$$
三、总结
| 类型 | 特点 | 公式适用情况 |
| 实心方阵 | 所有位置都被填充 | 计算总人数、每边人数 |
| 空心方阵 | 中间为空，外围为一圈或多圈 | 计算单层或多层人数 |
通过掌握这些基本公式，可以快速判断和计算不同类型的方阵问题，提高解题效率。同时，在实际应用中要注意题目给出的条件是否符合公式使用前提，例如总人数是否为完全平方数，或是否能被4整除等。